Question

设a₁，a₂，…a₂₀₁₂都是整数，且每个数a_i（i=1，2，…2012）都满足-1≤a_i≤2，若a₁+a₂+…+a₂₀₁₂=100，a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₂²=2012．求a₁⁵+a₂⁵+…+a₂₀₁₂⁵的最小值与最大值，并分别求出此时这列数中-1，0，1，2的个数分别是多少？

Answer 1

分析：根据已知得出a₁⁵+a₂⁵+…+a₂₀₁₂⁵=-a+b+32d=100+30d，再利用取最小值与最大值得出d与b的值，进而分析得出答案．

解答：解：设有a个-1，b个1，c个0，d个2
∵a₁+a₂+…+a₂₀₁₂=100，
∴-a+b+2d=100 （1）
∵a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₂²=2012，
∴a+b+4d=2012 （2）
a₁⁵+a₂⁵+…+a₂₀₁₂⁵=-a+b+32d=100+30d，
所以当d=0时，有最小值，
（1）（2）式得a=956，b=1056，c=0，
a₁⁵+a₂⁵+…+a₂₀₁₂⁵有最小值=100；
又∵a₁⁵+a₂⁵+…+a₂₀₁₂⁵取到最大就是要d取最大，
又要满足（1）（2）式，所以当b最小，
a、b、d都要是正整数，所以b最小值=3，此时a=605，d=351，c=1053时
y取得最大=10630；
故：最大值时-1有605个，0有1053个，1有3个，2有351个，
最小值为100，此时-1有956个，0有0个，1有1056个，2有0个．

点评：此题主要考查了整数的问题的综合应用，化简得出a₁⁵+a₂⁵+…+a₂₀₁₂⁵=-a+b+32d=100+30d进而分析得出是解题关键．