题目内容
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，现有两点E、F，分别从点D、点A同时出发，点E沿线段DA以1个单位长度每秒的速度向点A运动，点F沿折线A-B-C以2个单位长度每秒的速度向点C运动．设点E离开点D的时间为t秒．（1）t=
时，求证：△AEF为等腰直角三角形；（2）当t为何值时，线段EF与DC平行；
（3）当1≤t＜2时，设EF与AC相交于点M，连接DM并延长交AB于点N，求
的值．
【答案】分析：（1）根据运动的过程求得AE、AF的长即可作出判断；
（2）线段EF与DC平行，则F一定在边BC上，且DE=CF，即四边形EFCD为矩形，利用t表示出DE和CF，即可得到一个关于t的方程，从而求得；
（3）易证△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答：解：（1）t=
时，
DE=
，AF=
×2=
，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠DAB=90°，AE=2-
=
，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．
（2）四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AD=BC=2，
当点F运动到边BC上且AE=BF时，
则有DE=CF，
∴四边形EFCD为矩形，
∴EF∥CD，
∵AE=2-t，BF=2t-2，
∴2-t=2t-2，
∴t=
，
∴t=
时线段EF与DC平行．
（3）由（2）知AE=2-t，
∵CF=4-2t，
∴
=
=
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴AN=
AB，
∴
=1．
点评：本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质的综合应用，正确求得
=2是关键．
（2）线段EF与DC平行，则F一定在边BC上，且DE=CF，即四边形EFCD为矩形，利用t表示出DE和CF，即可得到一个关于t的方程，从而求得；
（3）易证△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答：解：（1）t=
时，DE=
，AF=×2=，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠DAB=90°，AE=2-
=，∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．
（2）四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AD=BC=2，
当点F运动到边BC上且AE=BF时，
则有DE=CF，
∴四边形EFCD为矩形，
∴EF∥CD，
∵AE=2-t，BF=2t-2，
∴2-t=2t-2，
∴t=
，∴t=
时线段EF与DC平行．（3）由（2）知AE=2-t，
∵CF=4-2t，
∴
==，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，
∴
==，∴
==，∴AN=
AB，∴
=1．点评：本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质的综合应用，正确求得
=2是关键． 
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