Question

设直线nx+（n+1）y=

2

（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S_n（n=1，2，…2015），则S₁+S₂+…S₂₀₁₅的值为

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：规律型

分析：分别求出n=1、2、3，…2015时直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算出S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₁₅，然后利用分数的加减法计算它们的和．

解答：解：当n=1，则直线解析式为x+2y=

2

，它与坐标轴的交点为（0，

2

2

），（

2

，0），S₁=

1

2

×

2

2

×

2

=

1

1×2

；
当n=2，则直线解析式为2x+3y=

2

，它与坐标轴的交点为（0，

2

3

），（

2

2

，0），S₁=

1

2

×

2

3

×

2

2

=

1

2×3

；
当n=3，则直线解析式为3x+4y=

2

，它与坐标轴的交点为（0，

2

4

），（

2

3

，0），S₁=

1

2

×

2

4

×

2

3

=

1

3×4

；
所以当n=2015，则直线解析式为2015x+2016y=

2

，它与坐标轴的交点为（0，

2

2016

），（

2

2015

，0），S₁=

1

2

×

2

2016

×

2

2015

=

1

2015×2016

；
所以S₁+S₂+…S₂₀₁₅=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2015×2016

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2015

-

1

2016

=1-

1

2016

=

2015

2016

．
故答案为

2015

2016

．

点评：本题考查了一次函数图形上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-

b

k

，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．