Question

12．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m-1）
（1）求线段AB的长；
（2）若已知m=3，x轴上是否存在一点P，使得PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）直接用平面坐标系中两点间的距离公式求解即可；
（2）先求出点A，B的坐标，再作出点A关于x轴的对称点A'即可求出点A'的坐标，从而求出直线A'B的解析式，最后求出此直线和x轴的交点即可；
（3）先判断出以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，AB只能是边，分先将点B平移到x轴上和点A平移到x轴上两种情况，利用平移的特点求出点M，N的坐标，最后求出MN解析式．

解答 解：（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1），
∴AB=$\sqrt{[（m+3）-m]^{2}+[（m-1）-（m+1）]^{2}}$
=$\sqrt{9+4}$
=$\sqrt{13}$，
（2）如图1，

∵m=3，
∴A（3，4），B（6，2），
作出点A关于x轴的对称点A'（3，-4），
∴设直线A'B的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$
∴直线A'B的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+6，
令y=0，则-$\frac{2}{3}$x+6=0，
∴x=9，
∴P（9，0）；
（3）如图2，

∵M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴AB不可能是平行四边形的对角线，只能是平行四边形的一边，
∵A（m，m+1），B（m+3，m-1）
①点B平移到x轴上，
∴将线段AB向下平移（m-1）个单位，点B落在x轴上，
∴平移后点A的对应点C（m．（m+1）-（m-1）），即：C（m，2），
平移后点B的对应点D（m+3，0）
∵点N在y轴上，
∴N（0，2），
再将线段CD向左平移m单位，点C落在y轴上，
∴M（（m+3）-m，0），即：M（3，0），
∴直线MN的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2．
②点A平移到x轴上，
如图3，

同①的方法得出直线MN的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-2．
即：直线MN的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2或y=-$\frac{2}{3}$x-2．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了平面坐标系内，两点间的距离公式，待定系数法，平行四边形的性质，解本题的关键确定出直线A'B的解析式．