Question

9．如图，二次函数y₁=ax²+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且一次函数y₂=mx+n过点A，与二次函数的图象相交于点C（4，4）
（1）方程ax²+bx+c=mx+n的解是x₁=1，x₂=3
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是x＜1或x＞3，不等式ax²+bx+c≤0的解集是1≤x≤3．
（3）不等式ax²+bx+c＜mx+n的解集是1＜x＜4．
（4）不等式ax²+bx+c＜-$\frac{4}{3}$的解集是无解．

Answer 1

分析 （1）方程ax²+bx+c=mx+n的解就是二次函数与x轴的交点的横坐标；
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是二次函数图象在x轴上方部分x的范围；不等式ax²+bx+c≤0的解集是图象在x轴上或x轴下方部分x的范围；
（3）不等式ax²+bx+c＜mx+n的解集是二次函数在一次函数的图象下方部分x的范围；
（4）首先利用待定系数法求得二次函数的解析式，然后求得纵坐标是-$\frac{4}{3}$时对应的x的值，则不等式解集即可求得．

解答 解：（1）方程ax²+bx+c=mx+n的解是x₁=1，x₂=3，
故答案是：x₁=1，x₂=3；
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是x＜1或x＞3，不等式ax²+bx+c≤0的解集是1≤x≤3，
故答案是：x＜1或x＞3，1≤x≤3；
（3）不等式ax²+bx+c＜mx+n的解集是：1＜x＜4，
故答案是：1＜x＜4；
（4）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{16a+4b+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则二次函数的解析式是y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+4．
当y=-$\frac{4}{3}$时，$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+4=-$\frac{4}{3}$，解得：x₁=x₂=2．
即二次函数的顶点的纵坐标是-$\frac{4}{3}$．
则不等式ax²+bx+c＜-$\frac{4}{3}$无解．
故答案是：无解．

点评 本题考查了二次函数与不等式的关系，理解二次函数的图象与不等式的关系是解决本题的关键．