Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（﹣3，4）为圆心的⊙P与y轴相切，A是x轴上一动点，过A点的直线与⊙P相切于点B，以AB为边作正方形ABCD，则正方形ABCD面积的最小值为_____．

Answer 1

【答案】7．

【解析】

由切线的性质得到PB⊥AB，则在直角△APB中，AB2=AP2-PB2，PB=3为定值，欲求正方形ABCD面积即AB2的最小值，只需AP取最小值即可，当AP⊥x轴时，AP最小，则易得正方形ABCD面积的最小值．

解：∵以点P（-3，4）为圆心的⊙P与y轴相切，
∴⊙P的半径为3．
如图，连接AP、PB．
∵AB与⊙P相切且点B为切点，
∴PB⊥AB，则在直角△APB中，AB2=AP2-PB2，即AB2=AP2-9．
∵PB=3为定值，
∴当AP取最小值时，AB的值最小．当AP⊥x轴时，AP最小，此时AP=4，
∴AB2=42-9=7．
∴正方形ABCD面积的最小值=AB2=7．
故答案是：7．