Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点，分别在轴正半轴与轴正半轴上，是对角线.点从点出发向点运动（不与点，重合），到达点时停止运动，射线交轴于点，，交轴于点，交轴于点，连结，.

（1）求证：；

（2）请探究：的面积是否变化？若不变化，试求出的面积；若变化，请说明理由；

（3）当为何值时，是等腰直角三角形；

（4）过点作，垂足为点，请直接写出点运动的路线长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； (2)三角形的面积=4，为定值；（3）；（4）运动的路线长为.

【解析】

（1）由∠POB=∠POF+∠OPF=45°，∠POA=∠PEO+∠OPE=45°，∠EPF=∠EPO+∠OPD=45°，可得∠EPO=∠OFP，∠PEO=∠OPF；（2）由△POE∽△FOP，可得，推出OP2=OEOF，由正方形OAPB的边长为2，推出OP=2，推出OEOF=8，由此即可解决问题；（3）分两种情形讨论求解即可；（4）确定点G的运动轨迹，利用弧长公式计算即可.

（1）证明：如图1中，

∵四边形OAPB是正方形，
∴∠POB=∠POA=45°，
∵∠POB=∠POF+∠OPF=45°，∠POA=∠PEO+∠OPE=45°，∠EPF=∠EPO+∠OPD=45°，
∴∠EPO=∠OFP，∠PEO=∠OPF，
∴△POE∽△FOP；
（2）解：结论：△OEF的面积是定值，不变；
理由：∵△POE∽△FOP，
∴，
∴OP2=OEOF，
∵正方形OAPB的边长为2，
∴OP=2，
∴OEOF=8，
∴S△OEF=OEOF=4．
（3）如图2中，当FP=FE，∠PFE=90°时，易证△FBP≌△EOF，
∴OF=BP=2，OE=BF=4，
∵PB∥EO，
∴，
∴OC=,BC=，
∴m=.

如图3中，当PE=FE，∠PPEF=90°时，易证△FOD≌△EAP，
∴OE=AP=2，OF=AE=4，
∵PB∥EO，
∴ =1，
∴OC=BC=1，
∴m=1，

综上所述，满足条件的m的值为或1．
（4）如图4中，将△PAD绕点P顺时针旋转90°得到△PBK．

易证△CPD≌△CPK，
∵PG⊥CD，PB⊥CK，
∴PG=PB=2，
∴点G的运动轨迹是以P为圆心2为半径的弧BD，
∴点G运动的路线长==π.