Question

已知直线y₁=x+b与双曲线y₂=

6

x

相交于A、B两点，且当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂．
（1）求b的值及A、B两点的坐标．
（2）若点C在y₂=

6

x

（x＞0）上，且AC⊥AB．求证：B、C两点关于原点O对称．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）判断出点A的横坐标是1，然后利用反比例函数解析式求出点A的坐标，再代入直线解析式计算即可求出b的值，联立两函数解析式，解方程组即可得到点B的坐标；
（2）根据AC⊥AB，设直线AC的解析式为y=-x+c，把点A坐标代入求出c的值，得到点C的坐标，然后与双曲线解析式联立求解得到点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征证明．

解答：（1）解：∵当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂，
∴点A、B有一个点的横坐标为1，不妨设A点的横坐标为1，
代入反比例函数解析式得，y=

6

1

=6，
∴点A的坐标为（1，6），
把点A坐标代入直线得，1+b=6，
解得b=5，
联立

y= 6 x y=x+5

，
解得

x1=1 y1=6

，

x2=-6 y2=-1

，
∴点B的坐标为（-6，-1），
故b的值为5，A、B两点的坐标分别为（1，6），（-6，-1）；

（2）证明：∵AC⊥AB，直线AB的解析式为y=x+5，
∴设直线AC的解析式为y=-x+c，
把点A（1，6）代入得，-1+c=6，
解得c=7，
所以，直线AC的解析式为y=-x+7，
联立

y=-x+7 y= 6 x

，
解得

x1=1 y1=6

，

x2=6 y2=1

，
∴点C的坐标为（6，1），
∵B（-6，-1），
∴B、C两点关于原点O对称．

点评：本题是反比例函数综合题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，本题难点在于根据函数值的大小判断出点A、B中有一个点的横坐标是1，从而求出交点坐标，这也是解答本题的突破口．