Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是$\frac{120}{13}$．

Answer 1

分析 先判断出PC+PQ的最小值时，点M的位置，得出最小值就出CM，利用勾股定理求出AD，最后用等面积法求出CM即可．

解答 解：如图，作出点Q关于AD的对称点M，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点M在边AB上，
连接CM交AD与P，当CM⊥AB时，PC+PQ的最小值是CM．
∵AB=AC=13，BC=10，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC=5，
根据勾股定理得，AD=12，
利用等面积法得：AB•CM=BC•AD，
∴CM=$\frac{BC•AD}{AB}=\frac{10×12}{13}$=$\frac{120}{13}$
故答案为：$\frac{120}{13}$．

点评 此题是轴对称-最短路线问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CM是解本题的关键．