Question

5．成都地铁规划到2020年将通车13条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的几年，市场对建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测：投资水泥生产销售后所获得的利润y₁（万元）与投资资金量x（万元）满足正比例关系y₁=20x；投资钢材生产销售的后所获得的利润y₂（万元）与投资资金量x（万元）满足函数关系的图象如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点，AB∥x轴）．
（1）直接写出当0＜x＜30及x＞30时，y₂与x之间的函数关系式；
（2）某建材经销公司计划投资100万元用于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部分的资金量为t（万元），生长销售完这两种材料后获得的总利润为W（万元）．
①求W与t之间的函数关系式；
②若要求投资钢材部分的资金量不得少于45万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万元时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？

Answer 1

分析 （1）当0＜x≤30时，根据顶点A的坐标设其顶点式，将原点代入可得其解析式，当x＞30时，可得y₂=900；
（2）①设投资钢材部分的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为（100-t）万元，分0＜t≤30、t＞30两种情况，根据W=y₁+y₂可得函数关系式；
②由t≥45可知W=-20t+2900，根据一次函数性质可得最值情况．

解答 解：（1）当0＜x≤30时，根据题意设y₂=a（x-30）²+900，
将原点（0，0）代入，得：900a+900=0，解得：a=-1，
∴y₂=-（x-30）²+900=-x²+60x，
当x＞30时，y₂=900；

（2）①设投资钢材部分的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为（100-t）万元，
当0＜t≤30时，W=y₁+y₂=20（100-t）+（-t²+60t）=-t²+40t+2000，
当t＞30时，W=20（100-t）+900=-20t+2900；
②∵t≥45，
∴W=-20t+2900，W随t的增大而减小，
∴当t=45时，W_最大值=2000万元
答：当投资钢材部分的资金量为45万元时，获得的总利润最大，最大总利润是2000万元．

点评 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用，根据投资量的不同分情况确定其函数解析式是解题的关键．