Question

8．阅读材料：
如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，那么有：那么有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它来解题．例：已知x₁，x₂是方程x²⁺6x-3=0的两根，求x₁²+x₂²的值
解法可以是这样：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，则x₁²⁺x₂²=（x₁+x₂）-2x₁x₂=（-6）²-2×（-3）=42
请你根据以上解法解答下题：已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，求：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值；（2）x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，欲求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值，根据$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$代入数值计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，欲求x₁²+x₂²的值，根据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入数值计算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{4}{2}$=2；
（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16-4=12．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．