Question

10．如图，P为正方形ABCD对角线AC上一动点，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延长线于点G，连接CE和AG．
（1）求证：△ADG≌△CDE；
（2）当CE平分∠ACD时，求tan∠AGD．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形证明△ADG与△CDE全等即可；
（2）设DG为k，利用三角函数的正切值解答即可．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠ADG=180°-∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADG，
又∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°-∠CAD=45°，
∴∠DEG=∠AEF=45°，
在Rt△EDG中，∠DGE=90°-∠DEG=45°，
∴∠DGE=∠DEG，
∴ED=GD
在△ADG与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=GD}\\{∠CDE=∠ADG}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDE（SAS）；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，AD⊥CD，
∴ED=EF，
∴EF=AF=DE=DG，
设DG为k，则ED=k，AE=$\sqrt{2}$k，AD=AE+ED=（$\sqrt{2}$+1）k，
tan∠AGD=$\frac{AD}{DG}=\frac{（\sqrt{2}+1）k}{k}$=$\sqrt{2}$+1

点评 此题考查正方形的性质，关键是利用全等三角形的判定和性质解答．