Question

3．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中间的小正方形（即阴影部分）面积可表示为（m-n）²．
（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）²，（m-n）²，mn之间的等量关系式：（m+n）²=（m-n）²+4mn．
（3）根据（2）中的结论，若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=±5．
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3所示，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（m+n）（m+2n）=m²+3mn+2n²．

Answer 1

分析 （1）阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，即m-n，各角均为直角，可得；
（2）根据大正方形面积等于边长的平方或小正方形面积加4个小长方形面积的两种不同算法，可得等式；
（3）根据（2）中结论，得（x-y）²=（x+y）²-4xy，据此可得答案；
（4）画出长m+2n，宽m+n的长方形即可求解．

解答 解：（1）图②中阴影部分的边长都等于小长方形的长减去小长方形的宽，即m-n，
由图可知，阴影部分的四个角都是直角，故阴影部分是正方形，其边长为m-n，
则其面积为（m-n）²，
故答案为：（m-n）²；

（2）大正方形的面积边长的平方，即（m+n）²，或小正方形面积加4个小长方形的面积，即4mn+（m-n）²，
故可得：（m+n）²=（m-n）²+4mn，
故答案为：（m+n）²=（m-n）²+4mn；

（3）由（2）知（x-y）²=（x+y）²-4xy=36-4×2.75=25，
∴x-y=±5，
故答案为：±5；

（4）如图所示：

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．