题目内容
如图，在△ABC中，A1，A2，A3是BC边上的四等分点，B1，B2是AC边上的三等分点，AA1与BB1交于C1，B1A2与BB2交于C2，记△AB1C1，△B1B2C2，△B2CA3的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=________．
6：4：3
分析：由在△ABC中，A1，A2，A3是BC边上的四等分点，B1，B2是AC边上的三等分点，可得A3B2∥A2B1∥A1A，则可得△BA1C1∽△BA2B1，△BA2C2∽△BA3B2，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BC1：BB1=BA1：BA2=1：2，BC2：BB2=BA2：BA3=2：3，再设S△ABC=a，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得△AB1C1，△B1B2C2，△B2CA3的面积，继而求得S1：S2：S3的值．
解答：∵在△ABC中，A1，A2，A3是BC边上的四等分点，B1，B2是AC边上的三等分点，
∴A3B2∥A2B1∥A1A，
∴△BA1C1∽△BA2B1，△BA2C2∽△BA3B2，
∴BC1：BB1=BA1：BA2=1：2，BC2：BB2=BA2：BA3=2：3，
设S△ABC=a，
则S△ABB1=S△B1BB2=S△B2BC=
a，
∴S1=
S△ABB1=
a，S2=S△BB1B2=
a，S3=
S△BB2C=
a，
∴S1：S2：S3=6：4：3．
故答案为：6：4：3．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握三角形面积比的求解方法．
分析：由在△ABC中，A1，A2，A3是BC边上的四等分点，B1，B2是AC边上的三等分点，可得A3B2∥A2B1∥A1A，则可得△BA1C1∽△BA2B1，△BA2C2∽△BA3B2，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BC1：BB1=BA1：BA2=1：2，BC2：BB2=BA2：BA3=2：3，再设S△ABC=a，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得△AB1C1，△B1B2C2，△B2CA3的面积，继而求得S1：S2：S3的值．
解答：∵在△ABC中，A1，A2，A3是BC边上的四等分点，B1，B2是AC边上的三等分点，
∴A3B2∥A2B1∥A1A，
∴△BA1C1∽△BA2B1，△BA2C2∽△BA3B2，
∴BC1：BB1=BA1：BA2=1：2，BC2：BB2=BA2：BA3=2：3，
设S△ABC=a，
则S△ABB1=S△B1BB2=S△B2BC=
a，∴S1=
S△ABB1=a，S2=S△BB1B2=a，S3=S△BB2C=a，∴S1：S2：S3=6：4：3．
故答案为：6：4：3．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握三角形面积比的求解方法．
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