Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，AC=3，BC=4．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质可得DE=CD，证明Rt△AED≌Rt△ACD可得AE=AC，再利用勾股定理计算出AB长，进而可得BE的长，然后设DE=x，则CD=x，BC=4-x，利用勾股定理列出方程，再解即可；
（2）计算出BD的长，利用三角形面积公式可得答案．

解答 解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
在Rt△AED和Rt△ADC中$\left\{\begin{array}{l}{ED=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE=AC=3，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EB=5-3=2，
设DE=x，则CD=x，BC=4-x，
x²+2²=（4-x）²，
解得：x=1.5，
则DE=1.5；

（2）∵DE=1.5，
∴CD=1.5，
∴BD=2.5，
∴△ADB的面积：$\frac{1}{2}×$2.5×3=$\frac{15}{4}$．

点评 此题主要考查了勾股定理的应用，以及角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．