Question

5．探索题：（x-1）（x+1）=x²-1； （x-1）（x²+x+1）=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1…
根据前面的规律，回答下列问题：
（1）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x³+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1．
（2）当x=3时，（3-1）（3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+3²⁰¹³+…+3³+3²+3+1）=3²⁰¹⁶-1．
（3）求：2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2³+2²+2+1的值．（请写出解题过程）．

Answer 1

分析 （1）每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1；
（2）根据规律得结果；
（3）将x=2代入可得结果．

解答 解：（1）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x³+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
故答案为：xⁿ⁺¹-1；
（2）当x=3时，（3-1）（3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+3²⁰¹³+…+3³+3²+3+1）=3²⁰¹⁶-1；
故答案为：3²⁰¹⁶-1；
（3）当x=2时，（2-1）（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2³+2²+2+1）=2²⁰¹⁵-1，
∴2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2³+2²+2+1=（2²⁰¹⁵-1）÷（2-1）=2²⁰¹⁵-1．

点评 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．