题目内容

一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．
（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）
（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，参考数据： $数学公式$ ）．

解：（1）过点B作BC⊥AP于点C，在Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC= $\text{[math]}$ AB=20，AC=AB•cos30°=20 $\text{[math]}$ ．
∵∠PBD=90°-15°=75°，∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠CBP=180°-75°-60°=45°，
∴AP=AC+PC=（20+20 $\text{[math]}$ ）海里．
∵PD⊥AD，∠PAD=30°，
∴PD= $\text{[math]}$ AP=10+10 $\text{[math]}$ ．

（2）设轮船每小时航行x海里，
在Rt△ADP中，AD=AP•cos30°= $\text{[math]}$ （20+20 $\text{[math]}$ ）=（30+10 $\text{[math]}$ ）海里．
∴BD=AD-AB=30+10 $\text{[math]}$ -40=（10 $\text{[math]}$ -10）海里．
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得x=60-20 $\text{[math]}$ ．
经检验，x=60-20 $\text{[math]}$ 是原方程的解．
∴x=60-20 $\text{[math]}$ ≈x=60-20×1.73=25.4≈25．
分析：（1）过点B作BC⊥AP于点C，先求出BC、AC的长度，然后确定∠CBP的度数，继而在直角三角形PAD中可求出根据PD．
（2）设轮船每小时航行x海里，在Rt△ADP中求出AD，继而表示出BD，列出方程可解出x的值．
点评：本题考查解直角三角形的应用，有一定的难度，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．