Question

7．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414，结果保留整数）

Answer 1

分析 作BF⊥AD于F，设BC=x米，根据正弦的定义求出CE，根据余弦的定义求出BE，用x表示出DE，根据等腰直角三角形的性质求出AD，表示出AF，根据正切的概念列出方程，解方程即可．

解答 解：作BF⊥AD于F，
设BC=x米，
∵∠CBE=60°，
∴BE=BC×cos∠CBE=$\frac{1}{2}$x，CE=BC×sin∠CBE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵CD=200米，
∴DE=200-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
则BF=DE=200-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵∠CAD=45°，
∴AD=CD=200，
则AF=200-$\frac{1}{2}$x，
∵tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$，
∴$\frac{200-\frac{\sqrt{3}}{2}x}{200-\frac{1}{2}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得，x=200（$\sqrt{3}$-1）≈146米．
答：电缆BC至少146米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．