Question

（2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1）

FC

EF

的值为

10

10

；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE=

32+12

=

10

，
∵sin∠BAE=

BE

AE

=sin∠FEC=

FC

EC

，
∴

FC

EC

=

10

10

，

（2）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB-BK=BC-BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，

∠KAE=∠CEP AK=EC ∠AKE=∠ECP

，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；

（3）答：存在．
证明：作DM⊥AE于AB交于点M，
则有：DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，

∠ADM=∠BAE AD=BA ∠BAD=∠ABE

，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MD

∥

.

EP，
∴四边形DMEP为平行四边形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．