如图.二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A.B两点.交y轴于点C．且B(1.0).若将△BOC绕点O逆时针旋转90°.所得△DOE的顶点E恰好与点A重合.且△ACD的面积为3．(1)求这个二次函数的关系式．(2)设这个二次函数图象的顶点为M.请在y轴上找一点P.使得△PAM的周长最小.并求出点P的坐标．(3)设这个函数图象的对称轴l交x轴于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．且B（1，0），若将△BOC绕点O逆时针旋转90°，所得△DOE的顶点E恰好与点A重合，且△ACD的面积为3．
（1）求这个二次函数的关系式．
（2）设这个二次函数图象的顶点为M，请在y轴上找一点P，使得△PAM的周长最小，并求出点P的坐标．
（3）设这个函数图象的对称轴l交x轴于点N，问：A、M、C、D、N这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由．

分析（1）由题意得OB=OD=1，OA=OC，设OA=OC=x，根据三角形的面积就可得出（x-1）•x=6，解方程即可求得A、C的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）根据轴对称的性质和两点之间线段最短，作出M关于y轴的对称点G为（1，4），求得直线AG的解析式，进而求得直线与y轴的交点，即为所求的P点的坐标；
（3）先求得A、M、N三点所在的圆的直径为AM，求得圆心的坐标，然后分别求得圆心到A、M、C、D、N这5个点的距离判定5点共圆，A、M、N三点所在的圆的圆心就是5点所在圆的圆心．

解答解：（1）由题意得，OB=OD=1，OA=OC，
设OA=OC=x，
∵△ACD的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$CD•OA=3，
∴（x-1）•x=6，解得x₁=3，x₂=-2（舍去），
∴A（-3，0），C（0，3），
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．且B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴这个二次函数的关系式为y=-x²-2x+3；
（2）如图，∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴点的M的坐标为（-1，4），
∴M关于y轴的对称点G为（1，4），
设直线AG的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AG的解析式为y=x+3，
把x=0代入得y=3，
∴P（0，3）；
（3）如图，∵MN⊥AN，
∴A、M、N三点所在的圆的直径为AM，
∴外接圆的半径为：$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{（-3+1）^{2}+（0-4）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
设AM的中点Q，则Q（-2，2），
∵C（0，3），D（0，1），
∴CQ=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，DQ=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴C、D在以AM为直径的圆上，
∴A、M、C、D、N这5个点共圆，圆心的坐标为（-2，2）．