Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为点M，N．求证：AP=MN．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质．

【专题】证明题．

【分析】连接PC，根据正方形的性质可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四边形PMCN是矩形，根据矩形的对角线相等可得PC=MN，再利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，从而得解．

【解答】解：连接PC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，

又∵PN⊥DC，PM⊥BC，

∴∠PMC=90°，∠PNC=90°，

∴四边形PMCN为矩形，

∴PC=MN，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP=PC，

∴AP=MN．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．