Question

探究性问题：

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，则

1

n(n+1)

=______．
试用上面规律，计算

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

．

Answer 1

∵

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
∴

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
∴原式=

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+4

=

1

x+1

-

1

x+4

=

3

(x+1)(x+4)

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

．