Question

探究性问题：

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，则

1

n(n+1)

=

 

．
试用上面规律解决下面的问题：
（1） 计算 

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

；
（2） 已知

a-1

+(ab-2)2=0，求

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+…+

1

(a+2010)(b+2010)

的值．

Answer 1

分析：由已知的三个等式总结出一般性的规律，
（1）利用总结的规律把三项化为六项后，抵消合并，然后利用分式的通分法则化简即可；
（2）根据两非负数之和为0得到两个非负数同时为0，求出a与b的值，然后把a与b的值代入到原式中，利用找出的规律化简，抵消合并即可求出原式的值．

解答：解：根据已知的三个等式，总结规律得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
（1）原式=

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

=

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+4

=

1

x+1

-

1

x+4

=

3

(x+1)(x+4)

；

（2）由

a-1

+(ab-2)2=0得：a-1=0且ab-2=0，
解得a=1且ab=2，
所以b=2，
则原式=

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+…+

1

(a+2010)(b+2010)

，
=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2011×2012

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

．

点评：此题考查学生会从特殊的式子中找出一般性的规律，灵活运用找出的规律化简求值，掌握两非负数之和为0时的条件，是一道规律型的中档题．