在△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.点O是AB的中点.点D是AC上一点.过点C作CE⊥BD于点E.连接EO．(1)过点O作OF⊥OE交BD于点F.如图1.试判断线段OE与OF之间的数量关系.并说明理由．(2)若点D是AC的中点.BC=4.请在备用图上画出符合条件的图形.并求出OE的长．(3)若CD=$\frac{1}{3}$AC.BC=6.请直接写出OE的长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点O是AB的中点，点D是AC上一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接EO．
（1）过点O作OF⊥OE交BD于点F，如图1，试判断线段OE与OF之间的数量关系，并说明理由．
（2）若点D是AC的中点，BC=4，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出OE的长．
（3）若CD=$\frac{1}{3}$AC，BC=6，请直接写出OE的长（不用说理）．

分析（1）结论：OE=OF，如图1中，连接OC．由CA=CB，∠ACB=90°，OA=OB，推出OC=OB，OC⊥AB，∠OBC=∠BCO=45°，取BC的中点K，连接EK、KO，由CE⊥DB，推出∠CEB=90°，EK=CK=KB=OK，推出C、E、O、B四点共圆，推出∠OEF=$\frac{1}{2}$∠OKB，由此即可解决问题．
（2）由△DCE∽△DBC，得$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，求出DE、CE、EB，由△EOC≌△FOB，得CE=BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，推出EF=BE-BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，由OE=EF•cos45°即可解决问题．
（3）由△DCE∽△DBC，得$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，求出DE、CE、EB，由△EOC≌△FOB，得CE=BF，根据°计算即可．

解答解：（1）结论：OE=OF，理由如下，
如图1中，连接OC．

∵CA=CB，∠ACB=90°，OA=OB，
∴OC=OB，OC⊥AB，∠OBC=∠BCO=45°，取BC的中点K，连接EK、KO，
∵CE⊥DB，
∴∠CEB=90°，EK=CK=KB=OK，
∴C、E、O、B四点共圆，
∴∠OEF=$\frac{1}{2}$∠OKB，
∵OC=OB，CK=KB，
∴OK⊥BC，
∴∠OKB=90°，
∴∠OEB=45°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF．

（2）如图2所示，连接OC．

∵BC=CA=4，CD=AD=2，
在Rt△DCB中，BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠CDE=∠CDB，∠CED=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{DE}{2}$=$\frac{CE}{4}$，
∴DE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵∠EOF=∠COB=90°，
∴∠EOC=∠FOB，
在△EOC和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EO=OF}\\{∠EOC=∠FOB}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△FOB，
∴CE=BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=BE-BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=EF•cos45°=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

（3）如图3中，连接AC．

由题意CD=2，BC=6，BD=2$\sqrt{10}$，
∵△DCE∽△DBC，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{10}}$=$\frac{DE}{2}$=$\frac{EC}{6}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，CE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，EB=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$，
∵△EOC≌△FOB，
∴CE=BF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴EF=EB-BF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴OE=EF•cos45°=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．