Question

如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AF为△ABC的角平分线，分别过点C、B作AF的垂线，垂足分别为E、D．以下结论：①CE=DE=BD；②AF=2BD；③CE+EF=AE；④=．其中结论正确的序号是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：延长线段BD与AC的延长线交于点M，然后由两个角相等得出三角形ACE与三角形ABD相似，且相似比等于1比，得出三角形ACF与三角形BMC全等，即可得出CE与DE相等且等于BD，AF等于2BD，然后由三角形CEF与三角形BDF相似，且相似比也等于1比，如果EF=1，则DF=，设AE=x，则AD=x，利用AE+EF+0D等于AD列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后表示出AF，求出AF与FD的比值即可．
解答：解：延长线段BD与AC的延长线交于点M
∵AD为∠CAB的平分线，AD⊥MB，
∴AM=AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AF为△ABC的角平分线，
∴∠AFC=90°-∠CAD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠M=∠AFC=67.5°，
又∵∠ACF=∠BCM=90°，AC=BC，
∴△ACF≌△BCM，
∴AF=BM=2BD，故②正确；
又∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，且∠AEC=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ABD，
∴===，
∴CE=DE=BD，故①正确；
又∵△CEF∽△BDF，
∴=，设AE=x，则AD=x，
∴x+1+=x，
解得x=
∴==，故④正确．
故选B．
点评：此题考查学生灵活运用相似三角形的性质与判断解决数学问题，是一道综合题．