Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，，且， 满足，直线经过点和．

（1） 点的坐标为（ ， ）， 点的坐标为（ ， ）；

（2）如图1，已知直线经过点 和轴上一点， ，点在直线AB上且位于轴右侧图象上一点，连接，且．

①求点坐标；

②将沿直线AM 平移得到，平移后的点与点重合，为 上的一动点，当的值最小时，请求出最小值及此时 N 点的坐标；

（3）如图 2，将点向左平移 2 个单位到点，直线经过点和，点是点关于轴的对称点，直线经过点和点,动点从原点出发沿着轴正方向运动，连接，过点作直线的垂线交轴于点，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点坐标．

Answer 1

【答案】（1）-1，0；0，-3；（2）①点；②点，最小值为；（3）点的坐标为或或．

【解析】

（1）根据两个非负数和为0的性质即可求得点A、B的坐标；

（2）①先求得直线AB的解析式，根据求得，继而求得点的横坐标，从而求得答案；

②先求得直线AM的解析式及点的坐标，过点过轴的平行线交直线与点，过点作垂直于的延长线于点，求得，即为最小值，即点为所求，求得点的坐标，再求得的长即可；

（3）先求得直线BD的解析式，设点，同理求得直线的解析式，求出点的坐标为 ，证得，分∠QGE为直角、∠EQG为直角、∠QEG为直角，三种情况分别求解即可．

（1）∵，

∴，，

则，

故点A、B的坐标分别为：，

故答案为：；；

（2）①直线经过点和轴上一点，，

∴，

由(1)得：点A、B的坐标分别为：，则，，

设直线AB的解析式为：，

∴

解得：

∴直线AB的解析式为：，

∵

∴

作⊥轴于，

∴，

∴，

∴点的横坐标为，

又点在直线AB上，

∴，

∴点的坐标为；

②由(1)得：点A、B的坐标分别为：，则，，

∴，，

∴点的坐标为 ，

设直线AM的解析式为：，

∴

解得：

∴直线AM的解析式为：，

根据题意，平移后点，

过点过轴的平行线交直线与点，过点作垂直于的延长线于点，如图1，

∴∥，

∵，

∴，

则，

为最小值，即点为所求，

则点N的横坐标与点的横坐标相同都是，

点N在直线AM上，

∴，

∴点的坐标为 ，

∴，

；

（3）根据题意得：

点的坐标分别为：，

设直线的解析式为：，

∴，

解得：，

∴直线BD的解析式为：，

设点，同理直线的解析式为：，

∵，

∴设直线的解析式为：，

当时，，则，

则直线的解析式为： ，

故点的坐标为 ，

即，

①当为直角时，

如下图，

∵为等腰直角三角形，

∴，

则点的坐标为 ，

将点的坐标代入直线的解析式并解得：，

故点；

②当为直角时，

如下图，作于，

∵为等腰直角三角形，

∴，，

∴∥轴，、和都是底边相等的等腰直角三角形，

∴，

∴，

则点的坐标为 ，

将点的坐标代入直线的解析式并解得：，

故点；

③当为直角时，

如下图，

同理可得点的坐标为 ，

将点的坐标代入直线的解析式并解得：，

故点；

综上，点的坐标为：或或．