Question

【题目】如图，是等边三角形，为上两点，且，延长至点，使，连接．

（1）如图1，当两点重合时，求证：；

（2）延长与交于点．

①如图2，求证：；

②如图3，连接，若，则的面积为______________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2．

【解析】

（1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；

（2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；

②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积=，而BC和CG可得，问题即得解决．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

当D、E两点重合时，则AD=CD，∴，

∵，∴∠F=∠CDF，

∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，

∴∠CBD=∠F，∴；

（2）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，

过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，

∴△AHE是等边三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，

∵，CD=CF，∴EH=CF，

又∵∠BHE=∠ECF=120°，∴△BHE≌△ECF（SAS），

∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，

∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，

∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，

∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；

②∵∠BGE=60°，∠EBD=30°，∴∠BEG=90°，

∵EB=EF，∴∠F=∠EBF=45°，

∵∠EBG=30°，BG=4，∴EG=2，BE=2，

∴BF=，，

过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，

∴，

∵∠ACB=60°，∴∠MEC=30°，∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，∴∠GCF=90°=∠GCB，

∴，

∴△BCG的面积=．

故答案为：2．