Question

13．如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F，已知$∠AEF=135°，OC=CE，BF=2\sqrt{2}$，求DE的长．

Answer 1

分析 首先证明四边形CODF是矩形，△BOF是等腰直角三角形，求出CD、CE即可解决问题．

解答 解：如图，连接OE、OF．

∵∠AEF+∠B=180°，∠AEF=135°，
∴∠B=45°，
∴∠AOF=2∠B=90°，
∴∠B=∠OFB=45°，
∴OF=OB，∵BF=2$\sqrt{2}$，
∴OF=OB=2，
∵DF是切线，
∴DF⊥OF，
∴∠DFO=90°，
∴DC⊥AB，
∴∠DCO=∠COF=∠DFO=90°，
∴四边形OCDF是矩形，
∴DC=OF=2，
∵CE=CO，EO=2，
∴CE=CO=$\sqrt{2}$，
∴DE=DC-CE=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、勾股定理．垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，寻找特殊三角形或特殊四边形是解题的突破口，属于中考常考题型．