Question

如图，菱形ABED中，BG⊥DE于G，且GE=

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AE，AG交BE于F，作∠AFH=60°，FH交DE于H点．
（1）求证：△ABE是等边三角形；
（2）求证：HE+EF=AE．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接BD交AE于点O，利用菱形的性质和已知条件可证明∠DBE=30°，所以∠ABE=60°，所以△ABE为等边三角形；
（2）首先证明△AHE≌△AFB，由全等三角形的性质可得：HE=FB，进而可证明HE+EF=BF+EF=BE=AE．

解答：证明：（1）连接BD交AE于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BE，∠BOE=90°，OE=

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AE，
∵GE=

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AE，∴OE=GE，
∵BE平分∠DBG，∠BDE=∠DBE，∠BDE=∠DBE，
∴∠DBE=30°，
∴∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形；
（2）∵∠AEH=∠AFH=∠ABF=60°，
∴A，H，E，F四点共圆，
∴∠HAE=∠HFE，
∵∠HFE+∠AFB=120°，∠AFB+∠FAB=120°，
∴∠HFE=∠FAB，
∴∠HAE=∠FAB，
在△AHE和△AFB中

∠HAE=∠FAB AE=AB ∠HEA=∠ABF

，
∴△AHE≌△AFB，
∴HE=FB，
∴HE+EF=BF+EF=BE=AE，

点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，题目的难度也不小，对学生的解题能力要求很高．