Question

6．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，BD与过点C的直线相互垂直，垂足为点D，BD与半圆O交于点E，且BC平分∠DBA．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若DC=4$\sqrt{3}$，BE=8，求$\widehat{AC}$的长（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由OB=OC，BC平分∠DBA，易证得OC∥BD，又由BD⊥CD，即可证得结论；
（2）首先根据切割线定理求得BD，然后根据勾股定理求得BC，连接AC，通过证得△ABC∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB，通过解直角三角形求得∠ABC的度数，进而求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求得即可．

解答 解：（1）CD与半圆O相切．
理由：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∵BC平分∠DBA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C是半圆O上的一点，
∴CD与半圆O相切．

（2）连接AC，
∵CD是切线，
∴CD²=DE•BD，
∵DC=4$\sqrt{3}$，BE=8，
设BD=x，则（4$\sqrt{3}$）²=x（x-8），
解得x=12，
∴BD=12，
∵∠BDC=90°，
∴BC=$\sqrt{D{C}^{2}+B{D}^{2}}$=8$\sqrt{3}$，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠BDC，
∵∠BDC=∠ABC，
∴△CDB∽△ACB，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BD}$，即$\frac{AB}{8\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{12}$，
∴AB=16，
∵sin∠3=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠3=30°，
∴∠2=30°
∴∠AOC=60°，
∴$\widehat{AC}$的长=$\frac{60×π×8}{180}$=$\frac{8}{3}$π．

点评 此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．