Question

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P、Q同时从A点出发，分别沿AC、AB向C、B作匀速运动，点P的速度为

3

cm/s，点Q的速度为1cm/s，当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A、C时，判断PQ与BC的之间的位置关系，说明理由．
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，则在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC相切？

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于O，根据菱形的对角线互相垂直，利用三角函数即可利用t把AP，AO，AQ，AB，AC表示出来，证明△PAQ∽△CAB，证得∠APQ=∠ACB，从而证明PQ∥BC；
（2），⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC，在直角△PCM中利用三角函数即可求解．

解答：解：（1）如图1，连接BD交AC于O
∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠BAC=

1

2

∠DAB，AC⊥BD，OA=

1

2

AC
又∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠BCA=30°
∴OB=

1

2

AB=1，
∴OA=

3

，AC=2OA=2

3

运动ts后，AP=

3

t，AQ=t，
∴

AP

AQ

=

AC

AB

=

3

又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB．
∴∠APQ=∠ACB
∴PQ∥BC；

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，
∴PM=

1

2

PC=

3

-

3

2

t
由PM=PQ=AQ=t，即

3

-

3

2

t=t
解得t=4

3

-6
所以当t=4

3

-6时，圆O与BC相切．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及切线的性质和三角函数，正确证明△PAQ∽△CAB是关键．