Question

20．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$与x轴交于点B₁，以OB₁为边长作等边三角形A₁OB₁，过点A₁作A₁B₂平行于x轴，交直线l于点B₂，以A₁B₂为边长作等边三角形A₂A₁B₂，过点A₂作A₂B₃平行于x轴，交直线l于点B₃，以A₂B₃为边长作等边三角形A₃A₂B₃，…，则点A₂₀₁₇的横坐标是$\frac{{2}^{2017}-1}{2}$．

Answer 1

分析 先根据直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$与x轴交于点B₁，可得B₁（1，0），OB₁=1，∠OB₁D=30°，再，过A₁作A₁A⊥OB₁于A，过A₂作A₂B⊥A₁B₂于B，过A₃作A₃C⊥A₂B₃于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A₁的横坐标为$\frac{{2}^{1}-1}{2}$，A₂的横坐标为$\frac{{2}^{2}-1}{2}$，A₃的横坐标为$\frac{{2}^{3}-1}{2}$，进而得到A_n的横坐标为$\frac{{2}^{n}-1}{2}$，据此可得点A₂₀₁₇的横坐标．

解答 解：由直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$与x轴交于点B₁，可得B₁（1，0），D（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴OB₁=1，∠OB₁D=30°，
如图所示，过A₁作A₁A⊥OB₁于A，则OA=$\frac{1}{2}$OB₁=$\frac{1}{2}$，
即A₁的横坐标为$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{1}-1}{2}$，
由题可得∠A₁B₂B₁=∠OB₁D=30°，∠B₂A₁B₁=∠A₁B₁O=60°，
∴∠A₁B₁B₂=90°，
∴A₁B₂=2A₁B₁=2，
过A₂作A₂B⊥A₁B₂于B，则A₁B=$\frac{1}{2}$A₁B₂=1，
即A₂的横坐标为$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$=$\frac{{2}^{2}-1}{2}$，
过A₃作A₃C⊥A₂B₃于C，
同理可得，A₂B₃=2A₂B₂=4，A₂C=$\frac{1}{2}$A₂B₃=2，
即A₃的横坐标为$\frac{1}{2}$+1+2=$\frac{7}{2}$=$\frac{{2}^{3}-1}{2}$，
同理可得，A₄的横坐标为$\frac{1}{2}$+1+2+4=$\frac{15}{2}$=$\frac{{2}^{4}-1}{2}$，
由此可得，A_n的横坐标为$\frac{{2}^{n}-1}{2}$，
∴点A₂₀₁₇的横坐标是$\frac{{2}^{2017}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{{2}^{2017}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得A_n的横坐标为$\frac{{2}^{n}-1}{2}$．