Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G，∠G=90°．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）当CD=CG时，请直接写出图中所有与∠C互补的角．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，再证明DE=BE，根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
（2）先得到△BCF是等边三角形，即可得到图中所有与∠C互补的角．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
∵在Rt△ADB中，E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∴四边形DEBF是菱形．

（2）由（1）可得，AD=BC，AD=BG，
∴CB=BG，
即B是CG的中点，
又∵F是CD的中点，
∴当CD=CG时，CF=CB，
又∵Rt△BCD中，CF=BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠C=60°，∠FBG=120°，
∴∠ADC=∠ABC=120°，∠DFB=60°+60°=120°，
∴∠DEB=120°，
∴图中所有与∠C互补的角为∠ADC、∠ABC、∠DFB、∠DEB、∠FBG．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，正确得出ED=BE是解题关键．