Question

如图，六边形ABCDEF的六个内角相等，若其连续四边长依次为1，9，9，7，（单位：），请你求出这个六边形的周长．

Answer 1

解：法一：如图，连接DF，则△DEF是等腰三角形，
∵六边形ABCDEF的六个内角相等，
∴∠DEF=（6-2）•180°=120°，
∴∠EDF=∠EFD=（180°-120°）=30°，
∴∠AFD=120°-30°=90°，
同理可得∠CDF=90°，
∴DF⊥AF，AF∥CD，
如图，分别作DF的垂线，垂线AH，CI，
则∠ABH=∠CBI=120°-90°=30°，
∴AH=AB•sin60°，CI=BC•sin60•，
∴AB+BC=（AH+CI）÷sin60°=（AH+CI）=DF•，
在△DEF中，DF=2×9sin60°=9，
∴AB+BC=9×=18，
∴这个六边形的周长是1+9+9+7+18=44．

法二：作直线AB、CD、EF，它们分别两两相交于点G、H、P，
∵六边形ABCDEF的六个内角相等，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠PAF=∠PFA=∠HED=∠HDE=∠GCB=∠GBC=60°，
∴△GHP、△GBC、△HDE和△HAF都是等边三角形，
∴PF=PA=AF=1，HE=HD=ED=9，PG=GH=CG=PH=1+9+9=19，
∴BC=CG=BG=GH-CD-DH=19-9-7=3，
∴AB=PG-PA-BG=19-3-1=15，
∴这个六边形的周长是1+9+9+7+3+15=44．
故答案为：44．
分析：连接DF，可以得到△DEF是顶角为120°的等腰三角形，过E作EG⊥DF，然后求出DF的长度，如图，分别作垂线然后表示出AH、CI，再根据AH+CI=DF即可求出AB+BC的长度，然后周长可得．
点评：本题考查了多边形的外角与内角，等腰三角形的判定，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．