题目内容
如图:四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,AD=a(a>0),BC=8,AD、BC间的距离为23 |
(1)如图①所示,当a=8时,△EFG在四边形ABCD内部运动过程中“能够扫到的部分”即为六边形HIBCJK,则S=
(2)如图②所示,当a=10时,求S的值;
(3)如图③所示,当a=2时,求S的值.
分析:(1)过G作GH⊥EF于H,求出等边三角形GEF的高GH,关键面积公式求出即可;
(2)过点B、E分别作EJ⊥AD于J、BK⊥AD于K,作AD的中点H,BC的中点I,求出平行四边形ABCD的面积和三角形AGE的面积,代入求出即可;
(3)过点A、G分别作AK⊥BC于K、GJ⊥BC于J,作AD的中点H,BC的中点I,求出平行四边形ABCD和三角形BGE的面积,代入即可求出答案.
(2)过点B、E分别作EJ⊥AD于J、BK⊥AD于K,作AD的中点H,BC的中点I,求出平行四边形ABCD的面积和三角形AGE的面积,代入求出即可;
(3)过点A、G分别作AK⊥BC于K、GJ⊥BC于J,作AD的中点H,BC的中点I,求出平行四边形ABCD和三角形BGE的面积,代入即可求出答案.
解答:(1)解:
过G作GH⊥EF于H,
∵等边三角形GEF,
∴EH=HF=1,
由勾股定理得:GH=
=
,
S=S矩形ABCD-2S△AIH=8×2
-2×
×1×
=15
,
故答案为:15
.
(2)解:将△EFG移到四边形ABCD的左上角(图1),
则△AEG为△EFG无法扫到的一部分,
此时,由于AD、BC的距离为2
,△EFG的高为
,
易得点E恰好是AB的中点,
过点B、E分别作EJ⊥AD于J、BK⊥AD于K,作AD的中点H,BC的中点I,
∵S四边形ABCD=
×(10+8)×2
=18
,
∵AD=10,BC=8∴AH=5,BI=4,
∴AK=AH-BI=1,
∵E是线段AB的中点,EJ⊥AD,BK⊥AD,
∴AJ=
AK=
,
∵∠JEG=30°,
∴JG=
GE=1,
∴AG=AJ+JG=
,
∴S△AGE=
×AG×JE=
×
×
=
,
∴△EFG无法扫到的部分的总面积为2S△AGE=
,
∴S=S四边形ABCD-2S△AGE=
,
答:S的值是
.
(3)解:将△EFG移到四边形ABCD的左下角(图2),
则△BEG为△EFG无法扫到的一部分,
此时,由于AD、BC的距离为2
,△EFG的高为
,
易得点G恰好是AB的中点,
过点A、G分别作AK⊥BC于K、GJ⊥BC于J,作AD的中点H,BC的中点I
∵S四边形ABCD=
×(2+8)×2
=10
,
∵AD=2,BC=8,
∴AH=1,BI=4,
∴BK=BI-AH=3,
∵G是线段AB的中点,AK⊥BC,GJ⊥BC,
∴BJ=
BK=
,
∵∠JGE=30°,
∴JE=
GE=1,
∴BE=BJ-EJ=
,
∴S△BGE=
×BE×JG=
×
×
=
,
∴△EFG无法扫到的部分的总面积为2S△BGE=
,
∴S=S四边形ABCD-2S△BGE=
,
答:S的值是
.
过G作GH⊥EF于H,
∵等边三角形GEF,
∴EH=HF=1,
由勾股定理得:GH=
GE2-EH2 |
3 |
S=S矩形ABCD-2S△AIH=8×2
3 |
1 |
2 |
3 |
=15
3 |
故答案为:15
3 |
(2)解:将△EFG移到四边形ABCD的左上角(图1),
则△AEG为△EFG无法扫到的一部分,
此时,由于AD、BC的距离为2
3 |
3 |
易得点E恰好是AB的中点,
过点B、E分别作EJ⊥AD于J、BK⊥AD于K,作AD的中点H,BC的中点I,
∵S四边形ABCD=
1 |
2 |
3 |
3 |
∵AD=10,BC=8∴AH=5,BI=4,
∴AK=AH-BI=1,
∵E是线段AB的中点,EJ⊥AD,BK⊥AD,
∴AJ=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵∠JEG=30°,
∴JG=
1 |
2 |
∴AG=AJ+JG=
3 |
2 |
∴S△AGE=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3
| ||
4 |
∴△EFG无法扫到的部分的总面积为2S△AGE=
3
| ||
2 |
∴S=S四边形ABCD-2S△AGE=
33
| ||
2 |
答:S的值是
33
| ||
2 |
(3)解:将△EFG移到四边形ABCD的左下角(图2),
则△BEG为△EFG无法扫到的一部分,
此时,由于AD、BC的距离为2
3 |
3 |
易得点G恰好是AB的中点,
过点A、G分别作AK⊥BC于K、GJ⊥BC于J,作AD的中点H,BC的中点I
∵S四边形ABCD=
1 |
2 |
3 |
3 |
∵AD=2,BC=8,
∴AH=1,BI=4,
∴BK=BI-AH=3,
∵G是线段AB的中点,AK⊥BC,GJ⊥BC,
∴BJ=
1 |
2 |
3 |
2 |
∵∠JGE=30°,
∴JE=
1 |
2 |
∴BE=BJ-EJ=
1 |
2 |
∴S△BGE=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
| ||
4 |
∴△EFG无法扫到的部分的总面积为2S△BGE=
| ||
2 |
∴S=S四边形ABCD-2S△BGE=
19
| ||
2 |
答:S的值是
19
| ||
2 |
点评:本题主要考查对平行四边形的性质,三角形的面积,等边三角形的性质,勾股定理,矩形的性质,等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
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