Question

如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的边ND上的中线．
（1）求证：AB=DN；
（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理得到∴∠ACB=90°，则∠NCD=90°，而DM⊥AB，根据等角的余角相等得到∠A=∠D，然后根据“ASA”判断△ABC≌△DNC，则AB=DN；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得PC=PN=

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DN，则∠PCN=∠PNC，所以∠ANM=∠PCN，而∠A=∠ACO，于是得到∠ACO+∠PCN=90°，
即∠PCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CP是⊙O的切线．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，则∠NCD=90°，
∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠ABC+∠A=∠ABC+∠D=90°，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DNC中

∠A=∠D AC=CD ∠ACB=∠NCD

，
∴△ABC≌△DNC（ASA），
∴AB=DN；
（2）CP是⊙O的切线．理由如下：
连结OC，如图，
∵CP是△CDN的边ND上的中线，∠NCD=90°，
∴PC=PN=

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DN，
∴∠PCN=∠PNC，
∵∠ANM=∠PNC，
∴∠ANM=∠PCN，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠ANM=90°，
∴∠ACO+∠PCN=90°，
∴∠PCO=90°，
∴OC⊥PC
∴CP是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查来了三角形全等的判定与性质．