Question

9．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°．△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，得到△ADE．问：
（1）线段BD和CE相等吗？为什么？
（2）如果旋转角为80°，△CBD与△DCE是等腰三角形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）先根据图形旋转的性质得出∠BAD=∠CAE，再由SAS定理得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得到∠BAC=40°，求得∠BAC=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到AC垂直平分BD，根据线段垂直平分线的性质得到BC=CD，于是得到结论．

解答 解：（1）线段BD和CE相等，
理由：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转得△ADE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE．  
在△ABD与△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE；

（2）△CBD与△DCE是等腰三角形，
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=40°，
∵∠BAD=80°，
∴∠CAD=40°，
∴∠BAC=∠CAD，
∵AB=AD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC=CD，
同理CD=DE，
∴△CBD与△DCE是等腰三角形．

点评 本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．