Question

【题目】阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，需要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想﹣转化，即把未知转化为已知来求解．

用“转化“的数学思想，我们还可以解一些新的方程．

例如，解一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得原方程x3+x2﹣2x＝0的解．

再例如，解根号下含有来知数的方程：＝x，通过两边同时平方把它转化为2x+3＝x2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．因为2x+3≥0，且x≥0，所以x＝﹣1不是原方程的根，x＝3是原方程的解．

（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　．

（2）拓展：求方程＝x﹣1的解；

（3）应用：在一个边长为1的正方形中构造一个如图所示的正方形；在正方形ABCD边上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝，连接AG，BH，CE，DF，得到正方形MNPQ，若小正方形MNPQ（图中阴影部分）的边长为，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）1，﹣2；（2）详见解析；（3）n的值为9．

【解析】

（1）利用因式分解法，即可得出结论；

（2）先方程两边平方转化成整式方程，再求一元二次方程的解，最后必须检验；

（3）先根据勾股定理求出AG，进而得出sin∠AGD＝，再构造出直角三角形，得出sin∠EAW＝，进而建立方程，利用（2）的方法解此方程即可得出结论．

（1）∵x3+x2﹣2x＝0，

∴x（x﹣1）（x+2）＝0

∴x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0，

∴x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2，

故答案为1，﹣2；

（2）给方程

＝x﹣1的两边平方得，3x2﹣3x﹣2＝（x﹣1）2，

∴x＝或x＝﹣1，

∵3x2﹣3x﹣2≥0且x﹣1≥0，

∴x＝﹣1不是原方程的解，x＝是原方程的解；

（3）如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，

CD∥AB，

∴∠AGD＝∠GAB，

∵CG∥AE，CG＝AE，

∴四边形AECG是平行四边形，

∴AG∥EC，点E作EW∥PQ交AQ于W，

∴四边形PQWE是平行四边形，

∴EW＝PQ＝，

∵四边形MNPQ是正方形，

∴∠PQA＝90°，

∴∠AWE＝90°，

在Rt△ADG中，AD＝1，DG＝1﹣，

根据勾股定理得，AG＝，

∴sin∠AGD＝＝，

在Rt△AWD中，AE＝，EW＝，

∴sin∠EAW＝，

∵∠AGD＝∠EAW，

∴＝，

两边平方得，，

∴2n2﹣2n+1＝145，

∴n2﹣n﹣72＝0，

∴（n﹣9）（n+8）＝0，

∴n＝9或n＝﹣8（由于n＞0，因此舍去），

∴n＝9，

即：n的值为9．