Question

如图，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0,0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合。

（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出y的最大值；

（2）如图，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。   

                                  

                                                ②

Answer 1

解

①                                                                                                         ②

(1)△PAB≌△PDB, △POE≌△PFE

∴∠APB=∠DPB  ∠OPE=∠FPE

∵∠APB+∠DPB+∠OPE+∠FPE=180⁰

∴∠APB+∠OPE=90⁰

∵∠OPE+∠OEP=90⁰

∴∠APB=∠0EP

∵∠EOP=∠PAB=90⁰

∴△POE∽△BAP

∴

∵A(4,0),C(0,3),E(0,y),P(x,0)

 ∴即  

∵

而  ∴x=2时，   

(2)四边形DPAB、EOPF都为正方形

∴AP=AB=3,OE=OP=4-3=1

∴E(0,1)  P(1,0)

∵B(4,3)

∴过点P、B、E的抛物线的函数关系式为：

      

存在，Q（4，3）或（5，6）

由（2）知∠EPB=90⁰

即点Q与点B重合时满足条件

直线PB为y=x-1,与y轴交于点（0，-1）

∴将直线PB向上平移2个单位则过点E（0，1）

∴该直线为y=x+1

由   解之得

∴Q（5，6）

∴该抛物线上存在两点Q（4，3）或（5，6）满足条件