Question

14．如图，⊙O的弦AB，CE相交于点E，且B恰好是$\widehat{CD}$的中点，连接AC，BD，BC．求证：BD²=AB•BE．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得到∠A=∠BCD，BD=BC，根据相似三角形的性质得到BC²=AB•EB，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵B是$\widehat{CD}$的中点，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠A=∠BCD，BD=BC，
∵∠CBA=∠EBC，
∴△CEB∽△ACB，
∴$\frac{EB}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
∴BC²=AB•EB，
∵BD=BC，
∴BD²=AB•BE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．