Question

【题目】如图，已知点O（0，0），A（－5，0），B（2，1），抛物线l：y＝－（x－h）2＋1（h为常数）与y轴的交点为C．

（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标：

（2）设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y1的大小；

（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．

Answer 1

【答案】（1）对称轴x＝2，顶点B（2，l）；（2）y1＜y1；（3）h＝0或h＝－5．

【解析】

试题（1）将点B代入抛物线的解析式，得解析式，从而得到抛物线的对称轴及顶点坐标；

（2）用含h的式子表示yC，在根据式子特点求出yC的最大值及此时的h值，此时再判断l在x＞0时的增减性;

（3）设l与x轴的交点为M，则OM=（1/5）OA或AM=（1/5）OA，进而得到M的坐标，代入解析式，求得h的值．

试题解析：

解：（l）把x＝2，y＝1代入y＝－（x－h）2＋1，得h＝2．

∴解析式为y＝－（x－2）2＋1（或y＝－x2＋4x－3）．

对称轴x＝2，顶点B（2，l）．

（2）点C的横坐标为0，则yC＝－h2＋1，

∴当h＝0时，yC有最大值为1．

此时，l为y＝－x2＋1，对称轴为y轴，当x≥0时，y随着x的增大而减小．

∴x1＞x2≥0时，y1＜y1．

（3）把OA分1：4两部分的点为（－1，0）或（－4．0）．

①x＝-1，y＝0代入y＝－（x－h）2＋1，得h＝0或h＝－2．

但h＝－2时，OA被分为三部分，不合题意，舍去．

②同样，把x＝－4，y＝0代入y＝－（x－h）2＋1，得h＝－5或h＝－3（舍去）

∴h＝0或h＝－5．