题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，
），与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发，以每秒v个单位的速度向y轴负方向匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ交射线BC于点D，当点P到达点A时，点Q停止运动，以点P为圆心，PB为半径的圆与射线BC交于点E．
①求BE的长；当t＝1时，求DE的长；
②若在点P，Q运动的过程中，线段DE的长始终是一个定值，求v的值及DE长．
【答案】（1）y＝
x2﹣；（2）①当t＝1时， DE＝1为定值；②在点P运动的过程中，v＝，线段DE的长是定值1．
【解析】
（1）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（0，-），可得对称轴，将抛物线解析式改为顶点式，将A（-1，0）代入即可；
（2）连接PE，过D作D⊥y轴于H，设DH=a，设经过t秒时，①当0＜t＜1时，利用△QDH∽△QPO即可得DE的长与t无关，为定值；当t=1时，易得DE=CE=
BC=1为定值；②当1＜t≤2时，△QDH∽△QPO，可得DE为定值．
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），
∴抛物线的对称轴是y轴，
∴b＝0，
设抛物线的解析式为y＝ax2﹣，把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣，得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣；
（2）如图1，连接PE，过D作D⊥y轴于H，设DH＝a，
设经过t秒时，PB＝t，CQ＝vt，
①当0＜t＜1时，
∵PB＝PE＝t，∠PBE＝60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴BE＝PB＝t；
又 OP＝1﹣t，CQ＝vt，QH＝HC+CQ＝vt+a，QO＝OC+CQ＝vt+，
∵△QDH∽△QPO，
∴
，即
，
∴a＝
，
∴DC＝2DH＝
，
∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣＝
t+
，
依题意，DE为定值，故当v＝时，DE的长与t无关，即DE＝1；
当t＝1时，P到O点，C与D重合，显然DE＝CE＝BC＝1为定值；
②如图2，当1＜t≤2时，OP＝PB﹣OB＝t﹣1，
∵DH＝a，CH＝a，QH＝CQ﹣CH＝vt﹣a，QO＝CQ+OC＝vt+，
同理，△QDH∽△QPO，得，即
，
∴a＝
，
∴DC＝2DH＝
，
∴DE＝DC+CE＝+（2﹣t）＝t+，
依题意，DE为定值，故当v＝时，DE＝1，
综上所述，在点P运动的过程中，v＝，线段DE的长是定值1．
