题目内容

已知，等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，且BP=4，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EPF=60°，设BE=x，CF=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）①若四边形AEPF的面积为4 $数学公式$ 时，求x的值．②四边形AEPF的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵∠EPF=60°，

∴∠BPE+∠CPF=120°，
∵等边三角形ABC，
∴∠B=60°，
∴∠BPE+∠BEP=120°，
∴∠BEP=∠CPF，
∵∠B=∠C=60°，
∴△BEP∽△CPF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ；
∵当F和A重合时，y=CF=6，x= $\text{[math]}$ ，
即x的取值范围是 $\text{[math]}$ ≤x≤6；

（2）①过A作AD⊥BC于D，
过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=6，BE=x，
∴AD=sin60°×6=3 $\text{[math]}$ ，EN=sin60°×x= $\text{[math]}$ x，
∵∠C=60°，CF=y= $\text{[math]}$ ，
∴FM=sin60°× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_{四边形AEPF}=S_△ABC-S_△BEP-S_△CFP= $\text{[math]}$ ×6×3 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ =9 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
x²-5x+4=0，
x=1（舍去），x=4，
∴当四边形AEPF的面积为4 $\text{[math]}$ 时，x=4；
②四边形AEPF的面积存在最大值，
9 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +x-9）=- $\text{[math]}$ [（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²-5]=- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²+5 $\text{[math]}$
即最大值是5 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出△BEP∽△CPF，得出比例式，代入求出即可；
（2）①过A作AD⊥BC于D，过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，求出AD=3 $\text{[math]}$ ，EN= $\text{[math]}$ x，CF=y= $\text{[math]}$ ，FM= $\text{[math]}$ ，根据S_{四边形AEPF}=S_△ABC-S_△BEP-S_△CFP得出方程，求出x即可；
②四边形AEPF的面积存在最大值，把9 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 化成- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²+5 $\text{[math]}$ ，即可得出答案．
点评：本题考查了解直角三角形，等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，函数的最值等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．