Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F，
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边△ABC的边长为8，求AF，FH的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FH长．

解答：解：（1）DF与⊙O相切．理由如下：
连接OD．  
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∴∠DOB=∠C=60°，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DO⊥DF，
∴DF与⊙O相切；

（2）连接CD．
∵CB是⊙O直径，
∴DC⊥AB．
又∵AC=CB=AB，
∴D是AB中点，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×8=4．
在直角三角形ADF中，
∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°，
∴AF=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴FC=AC-AF=8-2=6．
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
∵∠C=60°，
∴∠HFC=30°，
∴HC=

1

2

FC=

1

2

×6=3，
∴FH=

FC2-HC2

=3

3

．

点评：本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理和圆周角定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．