Question

（2013•海门市一模）已知，等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，且BP=4，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EPF=60°，设BE=x，CF=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）①若四边形AEPF的面积为4

3

时，求x的值．②四边形AEPF的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出△BEP∽△CPF，得出比例式，代入求出即可；
（2）①过A作AD⊥BC于D，过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，求出AD=3

3

，EN=

3

2

x，CF=y=

8

x

，FM=

4 3

x

，根据S_{四边形AEPF}=S_△ABC-S_△BEP-S_△CFP得出方程，求出x即可；
②四边形AEPF的面积存在最大值，把9

3

-

3

x-

4 3

x

化成-

3

（

2

x

-

x

）²+5

3

，即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠EPF=60°，
∴∠BPE+∠CPF=120°，
∵等边三角形ABC，
∴∠B=60°，
∴∠BPE+∠BEP=120°，
∴∠BEP=∠CPF，
∵∠B=∠C=60°，
∴△BEP∽△CPF，
∴

BE

CP

=

BP

CF

，
∴

4

y

=

x

6-4

，
∴y=

8

x

；
∵当F和A重合时，y=CF=6，x=

4

3

，
即x的取值范围是

4

3

≤x≤6；

（2）①过A作AD⊥BC于D，
过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=6，BE=x，
∴AD=sin60°×6=3

3

，EN=sin60°×x=

3

2

x，
∵∠C=60°，CF=y=

8

x

，
∴FM=sin60°×

8

x

=

4 3

x

，
∴S_{四边形AEPF}=S_△ABC-S_△BEP-S_△CFP=

1

2

×6×3

3

-

1

2

×4×

3

2

x-

1

2

×2×

4 3

x

=9

3

-

3

x-

4 3

x

=4

3

，
x²-5x+4=0，
x=1（舍去），x=4，
∴当四边形AEPF的面积为4

3

时，x=4；
②四边形AEPF的面积存在最大值，
9

3

-

3

x-

4 3

x

=-

3

（

4

x

+x-9）=-

3

[（

2

x

-

x

）²-5]=-

3

（

2

x

-

x

）²+5

3

即最大值是5

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，函数的最值等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．