Question

已知等边△ABC外有一点P，设P到BC、CA、AB的距离分别为h₁，h₂，h₃，且h₁-h₂+h₃=6，那么等边△ABC的面积为

 

．

Answer 1

分析：根据等边三角形的面积即可计算（h₁-h₂+h₃）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，即可求得△ABC的面积，即可解题．

解答：解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，
则S_△PAB+S_△PBC-S_△PAC=S_△ABC，
从而

1

2

ah₁-

1

2

ah₂+

1

2

ah₃=

3

4

a²，
即

1

2

a（h₁-h₂+h₃）=

3

4

a²，
∵h₁-h₂+h₃=6，
∴a=4

3

，
∴S_△ABC=

3

4

a²=12

3

．
故答案为12

3

．

点评：本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．