Question

如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；

（2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

Answer 1

：  （1）解：CD⊥AB，

∴PC=PD=CD=，

连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，

在RT△POC中，OC²=OP²+PC²，

即r²=（4﹣r）²+（）²，解得r=．

（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，

∴△PBC∽△BFA，

∴∠ABF=∠CPB，

∵CD⊥AB，

∴∠ABF=∠CPB=90°，

∴直线BF是⊙O的切线；

（3）四边形AEBF是平行四边形；

理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，

∴当点P与点O重合时，CD=AB，

∴OC=OD，

∵AE是⊙O的切线，

∴BA⊥AE，

∵CD⊥AB，

∴DC∥AE，

∵AO=OB，

∴OC是△ABE的中位线，

∴AE=2OC，

∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，

∴CD∥BF，

∵AE∥BF，

∵OA=OB，

∴OD是△ABF的中位线，

∴BF=2OD，

∴AE=BF，

∴四边形AEBF是平行四边形．