Question

如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

       解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），

∵抛物线y=ax²+x+c经过B、C两点，

∴

解得

∴y=﹣x²+x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，

∴设点E的坐标是（x，﹣x²+x+3），

则点M的坐标是（x，﹣x+3），

∴EM=﹣x²+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x²+x，

∴S_△ABC=S_△BEM+S_△MEC

=

=×（﹣x²+x）×4

=﹣x²+3x

=﹣（x﹣2）²+3，

∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．

①如图2，，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=﹣x+3上，

∴点M的坐标是（2，），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM==，

∴AM所在的直线的斜率是：；

∵y=﹣x²+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x²+x+3），

则

解得或，

∵x＜0，

∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．

②如图3，，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=﹣x+3上，

∴点M的坐标是（2，），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM==，

∴AM所在的直线的斜率是：；

∵y=﹣x²+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x²+x+3），

则

解得或，

∵x＞0，

∴点P的坐标是（5，﹣）．

③如图4，，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=﹣x+3上，

∴点M的坐标是（2，），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM==，

∵y=﹣x²+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x²+x+3），

则

解得，

∴点P的坐标是（﹣1，）．

综上，可得

在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，

点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．