Question

13．已知直线l：y=ax-a-2，其中a为实数（常数），可知直线l必经过定点（1，-2）；过点P（-1，0）作直线l的垂线，垂足为M，点O为坐标原点，则线段OM长度的最小值为$\sqrt{2}$-1，最大值为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 对于任意实数a，直线l必经过定点，所以a的系数为0，据此可求得该定点，以定点和P点间的线段为圆心，以线段的长为直径，交y轴于M₁、M₂，则OM₁是OM的最小值，OM₂是OM的最大值．

解答 解：∵y=ax-a-2=（x-1）a-2，
∴当a的系数x-1=0，即x=1时，
对于任意实数a，直线y=ax-a-2，都经过应该定点Q（1，-2），
如图，以P（-1，0）和Q（1，-2）之间的线段为直径画弧，交y轴于M₁、M₂，则OM₁最小，OM₂z最大，
∵P（-1，0），Q（1，-2），
∴PQ=$\sqrt{（-1+1）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴圆心为（0，-1），半径为$\sqrt{2}$，
∴OM₁=$\sqrt{2}$-1，OM₂=$\sqrt{2}$+1，
∴OM长度的最小值为 $\sqrt{2}$-1，最大值为 $\sqrt{2}$+1．
故答案为1，-2、$\sqrt{2}$-1、$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时要关键把握住a的系数为0．