Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象在第一象限内交于点M，若△OBM的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P是x轴正半轴上一点且∠AMP=90°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点代入y=kx+b即可求出一次函数解析式，根据面积求出点M坐标，即可求出反比例函数解析式．
（2）由△OAB∽△MPB，利用相似三角形的性质求出PB即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=0\\ b=-2\end{array}\right.$     解得$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=-2\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=2x-2，
设点M的坐标为（x，2x-2），
∵△OBM的面积是2，M在第一象限内，
∴$\frac{1}{2}$×1×（2x-2）=2
∴x=3，
∴M（3，4），
∵点M（3，4）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象上，
∴m=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$．
（2）∵A（0，-2），B（1，0），O（0，0），M（3，4），
∴OB=1，AB=$\sqrt{1+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，MB=$\sqrt{（3-1）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠AOB=∠AMP=90°，
∠OBA=∠MBP，
∴△OAB∽△MPB，
∴$\frac{OB}{BM}=\frac{AB}{BP}$，
∴BP=10，
∴P（11，0）．

点评 本题考查一次函数以及反比例函数的有关性质，学会待定系数法确定函数的解析式，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题的，属于中考常考题型．